Ecuaciones

Las ecuaciones se clasifican en enteras, fraccionarias e irracionales.

• Una ecuación es entera cuando las incógnitas estan sometidas únicamente a las operaciones de suma,
  resta y multiplicación:
  x + 1/5 = 2x - √5
• Una ecuación es fraccionaria cuando por lo menos una de las incógnitas figura en el divisor:
    y    + 1      =      y + 2
  x - 1   x                  x
• Una ecuación es irracional cuando por lo menos una incógnita figura bajo el signo del radical:
  ³√x    + 1  = 3

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Cuando el mayor grado con que figura la incógnita el el primero

2 x + 5 = 11

Pasando 5 al segundo miembro:

2 x = 11 - 5
2 x = 6
Pasando el 2 al segundo miembro:
x = 6 : 2
x= 3

Verificación = 2 x + 5 = 11             si x= 3, reemplazo la x por el valor encontrado

                   2 . 3 + 5 = 11
                  6 + 5 = 11
                        11 = 11

2)

5x + 15 = 14 + 6 + 7 + x               

Se resuelve si es posible operaciones con números que contienen x e independientes en cada miembro

5x + 15 = 27 + x

Se agrupan en el primer miembro los número que contienen x, y en el segundo miembro los números independientes

5x - x = 27 - 15                        

4x = 12

x = 12 : 4

x = 3

 Verificación si x = 3
   5x + 15 = 14 + 6 + 7 + x        
          5 . 3 + 15 = 14 + 6 +7 +3
           15 + 15 = 27 +3
    30 = 30

3)

5x =  7x  + 15
           2

Se pasa el término independiente al primer miembro

5x - 15 =   7x 
                   2

Se pasa el divisor 2 al primer miembro

(5x - 15). 2 = 7x

Se aplica propiedad distributiva

10x - 30 = 7x

Se agrupan los números que contienen x en el primer miembro y el término independiente se pasa al segundo miembro

10x - 7x = 30

3x = 30

x = 30 : 3

x = 10

Realicen la verificación

4)

( 5x - 3 )2 = x - 3

Se aplica propiedad distributiva

10x - 6 = x - 3

Se agrupan los números que contienen x y los números independientes en diferentes miembros

10x - x = - 3 + 6

9x = 3

x = 3/ 9

Simplificando

x = 1/3

Realicen la verificación

Ecuaciones fraccionarias

       3        =       4
    1 - x       

3 = 4. (1 - x)

3 = 4 - 4x

3 - 4 = - 4x

- 1 : - 4 = x

x = 1/4

4)

      x       -       2       =       1 + x      
x - 3            x + 3                  x

En el primer miembro el m.c.m = x² - 9

       x (x + 3) - 2 (x - 3)       =       1 + x      
            x² - 9                                    x

Aplicando propiedad distributiva

      x² + 3x - 2x + 6       =       1 + x      
            x² - 9                              x

      x² + x + 6        =       1 + x      
            x² - 9                      x

Pasando el divisor  x² - 9   al segundo miembro, y el divisor x al primer miembro

  ( x² + x + 6 ). x =     (1 + x ). ( x² - 9 )

Aplicando propiedad distributiva

x³ + x² + 6x = x²+ x³ - 9 - 9x

Reduciendo

6x = - 9 - 9x

Realizando pasaje de términos

6x + 9x = - 9

15x = -9

x = - 9 / 15

Simplificando

x = - 3 /5

Ejercitación

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

1) x + 5 = 35                            2) x + x + 9 = 25                           3) 2x + x + x + 4x - 9 = 5x -3

4) 5x + 15 = 14 + 6 + 7 + x       5) 3x + x = 4x + x - 2                 6) 2x + x +4x = 10x - 3

Resolver

1) 5x + 2 = 22                          Rta = 4                             2) -7x + 4 = -10                           Rta = 2

3) - 3x + 2 = 17                        Rta = - 5                          4) - 5 - x = 7 + ( - 3 ) =               Rta = - 9

5) x + ( -1 ) = - 3                      Rta = - 2                           6) x - ( - 9) = 3                             Rta = - 6  

7) 5 - ( - x ) =   9                       Rta = 4                             8) - 8x = 56                                  Rta = - 7

9) x : 9 = - 7                             Rta = - 63                         10) - 6x : 2 = 3                           Rta = - 1

11) - 27 : x = 9                          Rta = - 3                           12) ( x + 7) : ( - 8 ) =  1            Rta = -15

13) ( 78 : x ) + 13 = 19              Rta = 13                           14) ( - 4x : 6 ) - 7 = - 3              Rta = - 6

Ecuaciones con potenciación

a) x² = 16                                                                                                  Rta: + 4 ; - 4

b) x² = - [ 4( -3) - 3 + ( - 1 )³  ]                                                                   Rta: + 4

c) 2 x² = 50                                                                                                 Rta: 5

d) x² = ( - 2 )³ ( - 1 )⁵ - 2²                                                                            Rta: 4

e) 3 x² = 5² + 2                                                                                           Rta: 3

f) √3x + 4 = 7                                                                                             Rta: 3

g) 3.( √x + 1) + 5 = 8                                                                                    Rta: 0

Lección 1

    Expresiones algebraicas son formadas mediante el uso de constantes, variables y las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, uso de exponentes y buscando raices.

Algunos ejemplos  son:

                              3x² + 5x - 3                        (3x - y) ³
 
 

                                             2 + x                                    a + b - 5
                              4 + y
 
 

                              _ 1_
                              x - 9
 
 

    Una expresión algebraica que involucra solamente operaciones de suma, resta, multiplicación y el elevar a potencias de números naturales son variables ( las letras) y constantes( números solitos) se llama polinomios. Algunos ejemplos son:

        5a + b                                        3x³ - 2x + 5

       2x - 5y                                        9x² - 8

        x²                                              5x⁴ - 3x³ + x² - x + 5
 

En un polinomio, la variable no puede aparecer en el denominador, como exponente ni dentro de un radical.

Objetivo A: Sumar polinomios

Un término es una expresión  que está separada por los signos de suma o resta.
Ejemplos de términos:   3x , -2x², 4

Ejemplo:

3x² - 4x

3x² es un término.  -4x es otro término.
 

Un constante es un término que no contiene variables, solamente posee coeficiente.

3x² + 9x + 8  En este caso, la constante es 8, ya que es el único término sin variables.

Un monomio es un número, una variable o un producto de números y variables.
 Algunos ejemplos de monomios son:

 3x ²,  2x,   -5,   37 p⁴,   0

 1
 x      No es un monomio  porque la variable  aparece en el denominador.
 

___Un polinomio es una expresión cuyos términos son monomios.

                        x² + 2x - 8
 

___Un monomio es un polinomio con un término.

                       5x³  Es un monomio

___Un binomio es un polinomio con dos términos.

                     5y² - 3x  es un binomio.

___Un trinomio es un  polinomio con tres términos.

                     6xy -  2r²s + 4r   Es un trinomio.

Polinomios con más de tres términos no reciben nombres especiales..

___Los términos  de un polinomio en una variable se arreglan usualmente de modo que los exponentes de la variable van en orden de mayor a menor  y  de izquierda a derecha. Esto  se llama orden descendente.

 4x³ -  3x² + 6x - 1
 5y⁴  - 2y³ + y² - 7y + 8
 
 
___El grado de un polinomio  es una variable es el exponente mayor.

___El Polinomio de 4x³ -3x² + 6x - 1 es de  grado 3

___ 5y⁴ - 2y³  + y²- 7y + 8 es un polinomio de  grado 4.
 

Polinomios pueden ser sumados, usando un formato vertical, mediante la combinación de términos semejantes.

Por ejemplo simplifica (2x² + x - 1) + ( 3x³ + 4x² - 5 ) usando el  formato vertical.

Primero los términos son arreglados.
En orden descendente son términos  semejantes en la misma.
 

              2x² + x  - 1
 +  3x³ + 4x²        - 5
     3x³ + 6x² + x -6

Simplifica (3x³ - 7x + 2) + ( 7x²  + 2x -7) usando el formato horizontal.

Pasos:

1) Usando las propiedades conmutativas       (3x³ - 7x + 2) + (7x² + 2x -7)
 y asociativas de la adición de reemplazar
los términos semejantes.                               3x³ + 7x² + (-7x + 2x) + (2 + -7)
                                                                   (Este paso se hace mentalmente.)
2) Combinar términos semejantes.
3)  Escribir el polinomio en orden descendente.   3x³ + 7x² - 5x -5
 
Ejemplo 1:

Escribe el siguiente polinomio en orden descendente.
3x² - 5 + 4x³ - 2x

Solución:
4x³ + 3x² -2x -5
 
Ejemplo 2:

Escribe el polinomio en orden descendente.

x + 6x² -1 + 5x³

Tu solución:

5x³ + 6x² + x - 1
 
Ejemplo 3:

Identifica el grado del polinomio

8x³ - 2x² -7

Solución:
El exponente mayor de la variable x es 3.
El grado de  8x³ - 2x² - 7 es grado 3.
 
Ejemplo 4:

Identifica el grado del polinomio

9x⁴ - 3x²+ 11

Tu solución:

Si el exponente mayor es 4, entonces el grado del polinomio es 4.
 
Ejemplo 5:

Simplifica  (7y² - 6y + 9) + ( -8y² -2).  Usar el formato vertical.

Solución:

                        7 y² + - 6y + 9
                   +  -8 y²            + -2
                       -y2   +   -6y + 7

                        -y²  -    6y + 7
 
 
Nota: Fíjate que hemos  reescrito  7y² - 6y + 9 como  7y² + -6y + 9 ( usando las reglas  de la resta - restar  un número es igual que sumar el opuesto del número)

Ejemplo 6:

Simplifica ( 2x²  + 4x -3 ) + ( 5x² - 6x ).  Usar el formato vertical.

Tu solución:

                              2x² +  4x  - 3
                         +  5x² + -6x
                            7x² + -2x +-3
 
  Ejemplo 7:
 

Simplifica ( -4x²   -  3xy    + 2y ²  )  + ( 3x²  - 4 y² ).  Usar el formato  horizontal. En este tipo de suma se agrupan horizontalmente los términos semejantes. Términos semejantes son aquellos que tienen la misma variable o variables con el mismo exponente.

Solución:
 

( - 4x² - 3xy + 2y² ) + ( 3x² - 4y² )=

   -4x² + 3x² + -3xy + 2y² + -4y²            [Cómputo mental]

   -x² - 3xy - 2y²
 
 

Ejemplo 8:

Simplifica  (-3x³ + 2y²) + (-8x² + 9xy). Usar el formato horizontal.

Tu solución:

(-3x³ + 2y²) + (-8x² + 9xy)

-3x³ +( 2y² +- 8x² )+ 9xy

-3x³ -6x²  + 9xy

La respuesta debe estar siempre en orden descendente.
 
 
 

Objetivo B:  Restar polinomios
 

Nuestro objetivo es simplificar   - ( x² - 2x + 3)
 

Para simplificar el opuesto de un polinomio, cambias el signo de cada término que está dentro del paréntesis.
 

                        -(x² - 2x +3) =  - x² + 2x - 3
 

Polinomios pueden ser restados usando el formato vertical  o el formato horizontal.  Recuerda que para restar  es lo mismo sumar el opuesto del polinomio.
Simplifica  ( -3x² - 7) - (-8x² + 3x + -4). Usa el formato vertical.

1. Arreglar los términos de cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en la misma columna.
2. Reescribes la resta como la suma del opuesto.
3. Combinar los términos en cada columna.
 
 

Simplifica (5x² - 3x + 4) - ( -3x³ - 2x + 8). Usar el formato horizontal.

1. Reescribes la resta como la suma del opuesto.         (5x² - 3x + 4) - (-3x³ - 2x + 8)

2. Combinas los términos semejantes.                            (5x² + -3x + 4) + - (-3x³ + -2x + 8)

3. Escribes el polinomio en orden descendente.            (5x² + -3x + 4) + (3x³ + 2x + -8)

                                                                                                3x³ + 5x² + -3x + 2x + 4 + -8

                                                                                                3x³ + 5x²  - x  -  4

Ejemplo:

Simplifica (6y² - 3y - 1) - (7y² - y) = Usar formato vertical.
 

Solución:       

                                6y² - 3y - 1      =           6y² + -3y + -1

                              -(7y² - y)    _               + -7y² + y_____

                                                                      -y² - 2y - 1

Ejemplo:

Simplifica  (6y² - 3y - 1) - (7y² - y) = Usar formato vertical.

Solución:   

                    ( 6y² + - 3y + -1)+ - (7y² + - y) = 6y2 + -3y+-1 + -7y2 + y

                      6y² + -7y² + -3y + y + -1

                       -y² +          -2y +       -1

                       -y²- 2y - 1

Ejemplo:

Simplifica  (4x³ - 3x - 7) - (7x² - 4x - 2) . Usar el formato horizontal.
 

Solución:

            (4x³ - 3x - 7) - (7x² - 4x - 2)
            (4x³ + -3x + -7) +-(7x² + -4x + -2)
            (4x³ + -3x + -7) + (-7x²+ 4x + 2)
            4x³ + -7x² + -3x + 4x + -7 +2
            4x³ + -7x² + x + -5
            4x³ + -7x² + -3x + 4x + -7 + 2
            4x³ + -7x² + -3x + 4x + -7 + 2
            4x³ + -7x² + x + -5
            4x³ - 7x² + x - 5
 
 
  Ejemplo:

    Simplifica ( -3a² - 4a + 2) - (5a³ + 2a - 6). Usar el formato horizontal.

Tu solución:

        (-3a² - 4a + 2) - (5a³ + 2a - 6)
        (-3a² - 4a + 2) + -(5a³ + 2a - 6)
        (-3a² - 4a + 2) + ( -5a³ - 2a + 6)
        -5a³ + -3a² + -4a + -2a + 2 + 6
        -5a³ - 3a² - 6a + 8
A. Escribir  los polinomios en orden descendente.

    1.         x + 7 - 4x² - 3x³
    2.         4x² + 3x³ - x + 9
    3.         2x⁵ + x - 4x³ + 9 - x² + x⁴
    4.         9x² - 6 + 3x
    5.         3x + 9 - 5x³
 
 

B. Identifica el grado del polinomio.

    1.         4x⁵ + 9x - 6
    2.         3x² + 7x + 1
    3.         4x⁴ - 9x - 5
    4.         3c⁵ - 9c
    5.         p + 7p³ - p⁵
 

C. Simplificar por medio de suma, usando el formato vertical.

    1.         (4x² + 6x - 9)  + (-x² - 2x + 4)
    2.         (x² - 9x + 1) + ( 3x² - 4x + 6)
    3.         (2x² - 9x + 3) + ( -5x² + 7x - 1)

D. Simplificar por medio de suma, usando el formato horizontal.

    1.         ( 3x² - 9x + 1) + (x² -2x + 4)
    2.         (-3x² + 6x - 9)+ (-3x² - x + 2)
    3.         (-6x² + 4x - 9) + (-3x² - x + 2)

E. Simplificar por medio de resta,  usando el formato vertical.

    1.         ( 4x² - 6x + 9) - ( -x² + 7x - 8)
    2.         (3x² + 7x + 1) - ( 6x² + x - 1)
    3.         (4x² + 5x - 3) - (-3x² - x + 6)
 

F. Simplificar por medio de resta, usando el formato horizontal.

    1.         ( -2x² + 3x - 1) - ( 4x² + 6x - 9)
    2.         (5x² + 2x + 6) - ( 3x² + x - 9)
    3.         (x² - 6x + 8) - ( 2x² - x + 8)
 
 Multiplicar  Monomios
 

    Recordemos que en la expresión exponencial x⁵, x se llama la base y 5 es el exponente.  Los exponentes indican el número de veces que la base se está  multiplicando por sí mismo.
 
  El producto de expresiones exponenciales con la misma base se puede simplificar escribiendo cada expresión en forma factorizada y escribiendo el resultado con un exponente.

                                                   x3 · x2 = ( x · x  · x)   · ( x · x)  

                                                              = x · x · x ·  x · x  

                                                              = x5

Fíjate que si sumas los exponentes te da el mismo producto

                                                      x3 · x2 = x 3+2  = x5

Regla para la Multiplicación de expresiones exponenciales

Si m y n son enteros, entonces x^m · xⁿ  =  x ^{m + n}
 

Simplifica a² · a⁶ ·  a
 
 

Las bases son iguales. Suma los exponentes.

                                                        a2 · a6 · a = a 2 + 6 + 1 (Cómputo Mental)  

                                                                         = a9

Simplifica:  (2xy) (3x²y)
 
 

Usar las Propiedades Conmutativas y Asociativas de la Multiplicación
para reagrupar los factores.

                                                  (2xy)(3x2y) = ( 2 · 3) ( x · x2) ( y ·y) 

                                                                     = 6x 1 + 2  y 1 + 1 

                                                                        (Cómputo Mental)  

                                                                      =6y3y2

Ejemplo 1:

Simplifica  ( -4y) (5y³)

Solución:  (-4y) (5y³) = ( -4 · 5)  · ( y · y³)  =    -20 y⁴
 
 

Ejemplo 2:

Simplifica  (3x²) (6x³)

Tu Solución:   ( Pausa 10 segundos)

(3x²) (6x³) = ( 3 · 6 ) ( x² · x³) = 18x⁵
 

Ejemplo 3:

Simplifica:  ( 2x²y) (-5xy⁴)

Solución: ( 2x²y) ( -5xy⁴) = ( 2 · -5) ( x² · x) ( y · y⁴) = -10x³y⁵
 

Ejemplo 4:

Simplifica:  (-3xy²) ( -4x²y³)

Tu Solución: ( Pausa 10 segundos)

(-3xy²) (-4x²y³) = ( -3 · -4) ( x · x²) ( y² · y³) = 12x³y⁵
 
 

Objetivo B.  Simplificar potencias de monomios
 
 Una  potencia de  un monomio puede ser simplificado reescribiendo  la expresión en forma factorizada y luego aplicando la Regla para la Multiplicación de expresiones exponenciales.

                                                                                                a. (x2)3 =  x2 · x2 · x2 

                                                                         = x6 

                                                        b. (x4y3)2 = (x4y3) (x4y3)  

                                                                         = x4 · y3 · x4 · y3 

                                                                         = (x4 · x4) ( y3 · y3) 

                                                                              = x8y6  

Fíjate que multiplicando cada exponente que está dentro del  paréntesis por el exponente que está afuera  te da el mismo resultado.

                                                                            a.  (x2)3 = x 2 · 3 = x6 

                                                                            b. (x4y3)2 = x 4 · 2  y 3· 2 

                                                                                             = x8y6 

Regla para Simplificar Potencias de Expresiones Exponenciales

Si m y n son enteros, entonces (x^m)ⁿ = x ^mn

Regla para Simplifiación de Potencias de Productos

Si m, n y p son enteros, entonces (x^myⁿ)^p = x ^mp · y ^np
 

Simplifica  (x⁵)²

 Multiplica los exponentes

                                      (x5)2 = x 5 · 2   (Cómputo mental) 

                                       =  x10

Simplifica  ( 3a²b)³
 
 

Multiplica cada exponente de adentro del paréntesis con el exponente de afuera.

                                                    (3a2b)3  =  33 · a 2·3  ·b 1·3 

                                                                            =  3 3 a6 b3 

                                                                            = 27a6b3

Ejemplo: Simplifica ( 2xy³)⁴.

Solución:  (2xy³)⁴ = 2 ⁴ x ⁴  y ¹² = 16x ⁴  y¹²
 

Ejemplo: Simplifica:   (3x)(2x²y)³

Tu solución:

             (3x)(2x²y)³ =  (3x)(2³ x⁶ y³)
                                = (3 · 8) (x · x⁶) ( y³)
                                = 24x⁷y³
 

Ejemplo: Simplifica:  (-2x)(-3xy²)³

Solución:  (-2x)(-3xy²)³  =   (-2x) (-3)³ x³y⁶
                                        =  (-2x)(-27) x³y⁶
                                        =  (-2)(-27)(x · x³) (y⁶)
                                        =  54x⁴y⁶
 
 

Ejemplo:  Simplifica  (3x²)² ( -2xy²)³   =  (3 ²x⁴) (-2 ³ x³y⁶)
                                                               = (3² · -2³) (x⁴ ·x³)(y⁶)
                                                               = (9 · -8)(x⁵y⁶)
                                                               =  -72x⁵y⁶
 
 

Objetivo A: Multiplicar Polinomios

        Para multiplicar un polinomio por un monomio se utiliza la Propiedad Distributiva y la Regla para la Multiplicación de Expresiones Exponenciales.
 

Simplifica:    -2x( x² - 4x - 3)
 

Un método conveniente para multiplicar dos polinomios es usando el formato vertical que es similar a la Multiplicación de números enteros.
 

Pasos:
 

Simplifica (a² - 3) ( a + 5)

Pasos:
 

Ejemplo 1

Simplifica:  ( 5x + 4) (-2x)

Solución:

(5x + 4) (-2x) = -10x² - 8x
 
 
 

Ejemplo 2

Simplifica :   x³ ( 2x² - 3x + 2)

Solución:

x³ ( 2x² + -3x + 2) =  2x⁵ - 3x⁴ + 2x³
 
 

Ejemplo 3:

Simplifica:   ( 2b³ - b + 1) ( b+3)

Solución:               2b³ + -b + 1
                   x                    2b + 3
                         6b³      - 3b + 3
               4b⁴        -2b² + 2b
                4b⁴ + 6b³ - 2b² - b + 3
 

Ejemplo 4:

Simplifica:  (x² - 1)(x + 3)
 

Solución:                 x² + -1
                        x       x  +  3
                          3x²        + -3
                 x³             - x
                 x³ + 3x² - x  + -3    =   x³ + 3x² - x - 3
 
 
 

Objetivo B:  Multiplicación de dos binomios
 

    Es frecuentemente necesario hallar el producto de dos binomios. El producto  puede ser encontrado  con el métdo PAIU, el cual está basado en la propiedad distributiva. Las letras representan lo siguiente:  P = primero, A = afuera,  I = interiores, U = últimos.
 

Simplifica:  ( 2x + 3) ( x + 5)
 

Multiplica los Primeros  términos    ( 2x + 3) ( x+ 5)    2x · x = 2x²
Multiplica los términos de Afuera    (2x + 3) (x + 5)     2x · 5 = 10x
Multiplica los términos Interiores     (2x + 3) ( x + 5)    3 · = 3x
Multiplica los Ultimos Términos      (2x + 3) ( x+ 5)     3 · 5 = 15
 

Sumar combinando los términos semejantes.
                                   P        A       I      U
(2x + 3) ( x + 5)   =    2x² + 10x + 3x + 15
                             =    2x² + 13x + 15
 
 

Simplifica ( 4x - 3) (3x - 2)
 

(4x - 3) (3x - 2) =  4x (3x) + 4x (-2) + (-3)(3x) + (-3) (-2)  ( Hacer este paso mentalmente)
                          = 12x² - 8x - 9x = 6
                          = 12x² - 17x + 6
 

Simplifica:    ( 3x - 2y) ( x + 4y)

(3x - 2y) (x + 4y) = 3x(x) + 3x (4y) + (-2y)(x) + (-2y)(4y)   ( Hacer este paso mentalmente)
                            = 3x² + 12xy - 2xy - 8y²
                            = 3x² + 10xy - 8y²
 
 

Ejemplo 1:

Simplifica:  ( y + 4) ( y - 7)

Solución:

(y + 4) ( y - 7) = y² - 7y + 4y - 28
                       = y² - 3y - 28
 
 

Ejemplo 2:

Simplifica:  (2a - 1) ( 3a - 2)

Solución:

(2a - 1) (3a - 2) = 6a² - 4a - 3a + 2
                           = 6a² - 7a + 2
 
 

Ejemplo 3:

Simplifica:  ( 2x - 3y) (3x + 4y)

Solución:

(2x - 3y) (3x + 4y) = 6x² + 8xy - 9xy - 12y²
                               = 6x² - xy - 12y²
 
Objetivo C:  Multiplicar binomios que tienen productos especiales
 

        Usando PAIU, podemos encontrar  el producto de una suma y diferencia de dos términos y para el cuadrado de un binomio ( el binomio multiplicado por él mismo)

La Suma y Diferencia de Dos Términos

(a + b) ( a - b)  = a² - ab + ab - b²
                          = a²     -     b²
El cuadrado del primer término     El cuadrado del segundo término
 

El Cuadrado de un Binomio

Simplifica :  (2x + 3) (2x - 3)

(2x + 3) (2x - 3) es una diferencia de cubos.

                         Hacer este paso mentalmente
(2x + 3) (2x - 3) = (2x)²  - 3(2x) + 3(2x) - 9
                           =  4x² -6x + 6x - 9
                           =  4x² - 9
 

Simplifica: (3x - 2) ²

(3x - 2)² es el cuadrado de un binomio.

(3x - 2)² = (3x)² + 2(3x)(-2) + (-2)²   ( Hacer este paso mentalmente)

               = 9x² - 12x + 4
 
 

Ejemplo 1

Simplifica  (4z - 2w) (4z + 2w)

Solución:  (4z - 2w) (4z+ 2w) = 16z² - 4w²
 

Ejemplo 2

Simplifica:  ( 2a + 5c) (2a - 5c)

Solución:  (2a + 5c) (2a - 5c) = 4a² - 25c
 

Ejemplo 3:

Simplifica:  (2r - 3s)² =

Solución: ( 2r - 3s)² =  4r² - 12rs + 9s²
 

Ejemplo 4

Simplifica: ( 3x + 2y)² = 9x² + 12xy + 4y²
 

Simplifica cada expresión

1)   3x³(8x² - 6x - 3)
 

2)   -2x² (3x³ - 5)
 

3)   (-6x³ + y³)(2x² + y⁴)
 

4)   (a²+b²)(a²-b²)
 

5)   (2a² +3b)²

6)   (3x + y)²

Tema:  Factorización mediante máximo factor común.  

Objetivo:  Al finalizar el estudio independiente los estudiantes podrán factorizar polinomios mediante máximo factor común.

Introducción: En una expresión de multiplicación tenemos los siguientes componentes:
 
                                            a    x    b  =   ab
 
                                        Factores          Producto

En muchas ocasiones es necesario escribir un producto ya obtenido en término de sus factores.  A este proceso lo conocemos como factorización.

Cuando estudiamos  las expresiones algebraicas en los capítulos 1 y 2  estudiamos la factorización mediante máximo factor común.

Ejemplo I:   Factoriza   4x² - 12x + 6 = 2 (2x² - 6x + 3)

 Sin embargo, en este caso solamente buscábamos  el máximo factor común entre los  coeficientes numéricos.  Ahora veremos algunos ejemplos donde la variable o variables también forman parte del máximo factor común.  En este caso la  variable deberá estar en todos  los términos  del polinomio.

Ejemplo 2:  Factoriza   4x³  -  12x² + 6x

 En este caso  podemos observar que la variable x aparece en todos los términos y debe formar parte del máximo factor común.  Podemos decir que el máximo factor común de un conjunto de variables es el producto de las variables que se repiten al exponente menor.

 Volviendo al ejemplo anterior podemos decir que el máximo factor común entre los términos  del polinomio es 2x y la factorización se llevará a cabo de la siguiente manera:

          4x³  -  12x² + 6x  =      2x (4x³  -  12x² + 6x)
                                                   2x        2x      2x

 Esto es: Buscamos el máximo factor común y dividimos cada término del polinomio por el máximo factor común.
 
                                       =      2x (2x² - 6x + 3)

 Recuerda en división: si las bases son iguales los exponentes se restan.

Veamos otros ejemplos:
 

Ejemplo 3:  Factoriza    6x⁵ - 8x⁴ - 10x³
 

El máximo factor común entre los coeficientes numéricos es 2. La variable x se repite en todos los términos y al exponente menor que aparece es 3. Por lo tanto el máximo factor común es:
 

                             6x⁵ - 8x⁴ - 10x³  = 2x³( 6x⁵ - 8x⁴ - 10x³)
                                                                   2x³   2x³     2x³

                                                        = 2x³ ( 3x² - 4x - 5)
 
 

El paso de división es opcional y lo podemos hacer mentalmente.
 

Ejemplo 4:  Factoriza    3x²  -  9x .   El máximo factor común es 3x y dividiendo por este obtenemos:
 
                                    3x²  -  9x =  3x  ( x - 3 )
 
 

Ejemplo 5:  Factoriza    y³ + 6y² =  y² ( y + 6 )

En este caso no hay máximo factor común entre los coeficientes numéricos que sea distinto de 1 y solamente buscamos  máximo factor común entre las variables. La variable que se repite en todos los términos es y, el exponente menor a la que aparece es 2. Por lo tanto, el máximo factor común es y².
 

 Hemos visto varios ejemplos sobre factorización mediante máximo factor común.  Repasemos los pasos:

1. Halla el máximo factor común entre los términos del polinomio.  Recuerda con relación a las variables el mcf es la variable que se repite en todos los términos al exponente menor.
2. Para hallar el otro factor divide cada término por el máximo factor común.
 
 
 Factoriza cada uno de los siguientes polinomios

1)   3x + 6

2)   x³ + x² + x

3)  ax² + a

4)  2x² + 2x + 2

5)   3x²y - 6xy² + 12xy

Sistemas de Ecuaciones- Métodos de resolución

      MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

          Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos variables por este método se siguen los siguientes pasos:

PASO 1: Despejamos una de las variables de una de las ecuaciones.

PASO 2: La sustituimos en la otra ecuación y resolvemos para encontrar el valor de la variable que corresponde.

PASO 3: Sustituimos dicho valor en la ecuación del Paso 1 y resolvemos para obtener el valor de la otra variable.

PASO 4 : Comprobamos sustituyendo los valores en ambas ecuaciones.

EJEMPLO # 1:

            3x + 5y = 7  ---- ecuación 1

            2x -   y = -4  ---- ecuación 2

a) Despejamos una de las ecuaciones

     Tomamos la ec. 2

            2x - y = 4

                  2x= 4 - y

                    x =4 - y ----ecuación 3

                            2

b) Sustitución de la ecuación 3 en la 1

           3(-4 + y ) + 5y = 7

                  2

            -12 + 3 y + 5y = 7

                  2

            -12 + 3y + 10y = 14

             13y = 14 + 12

             13y = 26

                 y = 26/ 13

                 y = 2

c) Sustituimos el valor “ y “ en ecuación 3

          x = 4 - 2      x = - 2           x = -1

                   2                2

Comprobación

3(-1) + 5 (2) = 7                         2(-1) - 2 = 4

   -3 +10 = 7                                   -2 - 2 = 4

          7 = 7                                           4 = 4

Ejemplo # 2:

Por método de sustitución:

          3x + 2y = 8 ---- ecuación 1

          6x - 5y  = 4 ---- ecuación 2

a) Despejamos una de las ecuaciones

     Tomamos la ecuación 1

          3x + 2y = 8

                  3x = 8 - 2y

                    x = 8 - 2y ----- ecuación 3

                            3

b) Sustituimos ecuación 3 en la 2

          6 ( 8 - 2y) - 5y = 4

                 3

          48 - 12y - 15y =12

          -12y - 15y = 12 - 48

                    27y = -36

                        y = -36 =  y =14

                               27           3

c) Sustituimos el valor de “y” en ecuación 3

           x = 8 -2  (12)

                    3     9

          x = 8 - 24

                 3   9

          x = 48/9 = 48 = x = 16

                  3        27          9

Comprobación

3(-16) + 2 (2) = 8                        6 (16) - 5 (14) = 4

     3                                                9           3

-48 + 24 = 8                                     96 - 20  = 4

  3                                                    9     3

-16 + 24 = 8                                      96 - 60 = 4

            8 = 8                                                 9

                                                           36 = 4         4=4

Ejemplo # 3

Por método de sustitución

          3x + 2y = 6 ---- ecuación 1

          -3x + 6y = 4 ---- ecuación 2

a) Despejamos una de las ecuaciones

     Tomamos la ecuación 2

          -3x + 6y = 4

                 -  3x = 4 - 6y

                      x = 4 - 6y ---- ecuación 3

                              3

b) Sustitución de la ecuación 3 en la 1

          3 (4 - 6y) + 2y = 6

                  3

          12 - 18y + 6y =18

                  18y + 6y = 12 + 18

                          24y  = 30

                             y = 30 = y =  5

                                   24          4

c) Sustituimos el valor de “y” en ecuación 3

          x= -2 (5/4) + 6

                     3

          x = (10/ -4) + 6

                      3

          x =-10 + 6 = -10 +24 = 14 = 7

                  12   3          12          6

          x = 7

                6

Comprobación

3x + 2y = 6                                -3(7) + 6 (5) = 4

3( 7 ) + 2 (5) = 6                             6         4

    6           4                               -21 + 30 = 4

  21 + 10 = 6                                 6      4

   6       4                                    -42 + 90 = 48

 42 + 30 = 72                                       48 = 48

         72= 72

EJERCICIOS:

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de sustitución.

a) 3x + 5 = 3

     2x + 5y =5                                                                   Sol.  x=-2,  y =19

                                                                                                     3         15

b) 5a -2b = -23

   -8a + 3b=  18                                                                 Sol. a= 33 , b=94

c) 9r + 4t = 15

   13r + 8t = 5                                                                    Sol. r=5 , t= -15

                                                                                                              2

d) 18w + 12z = 0

   -14w + 16z = 19                                                             Sol.  w= -1,  z= 3

                                                                                                        2       4

e) -18r +9t = -15

      33r -11t= 11                                                                Sol.  r= -2, t= -3

                                                                                                      3

MÉTODO DE IGUALACIÓN

            Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos variables por este método se siguen los siguientes pasos:

PASO 1: Despejamos una de las variables de ambas ecuaciones

PASO 2: Igualamos dichas ecuaciones  y resolvemos para la variable que queda.

PASO 3: Sustituimos el valor de esta variable en alguna de las ecuaciones del           paso 1 y resolvemos para la otra variable.

PASO 4: Comprobamos la solución sustituyendo los valores de ambas                      ecuaciones.

EJEMPLO # 1:

Por método de Igualación

            3x + 2y =8 ---ecuación 1

            6x - 5y = 4 ---ecuación 2

a) Se despeja x en las dos ecuaciones.

            3x +2y =8                              6x - 5y = 4

                     x= 8 - 2y                                x = 4 - 5y

                             3                                               6

b) Igualamos las ecuaciones despejadas.

            8 - 2y = 4 - 5y

               3           6

            48 - 12y = 12 - 15y

                 - 12y - 15y = -48 + 12

                           - 27y = -36

                                  y = -36 = 12 = 4

                                        -27     9     3

                                  y = 4

                                        3

c) Sustituimos el valor de y  en ecuación 1

            3x + 2 ( 4 ) = 8

                          3

            3x + 8 =8

                    3

            3x = 8 - 8

                         3

            3x = 24 - 8

                        3

            3x = 16 / 3

              x = 16/3  x =  16

Ejemplo # 2

Por el método de Igualación

            3x + 5y = 7 --ecuación  1

            2x - y = -4 --- ecuación  2

a) Despejamos y en las dos ecuaciones

            3x - 5y = 7                             2x - y = -4

                 - 5y = 7 - 3x                            -y = -4 + 2x

                      y = 7 - 3x                            y = 4 + 2x

                                5

b)Igualamos las ecuaciones despejadas

            7 - 3x = 4 + 2x

                5

            7 - 3x = 5 (4 + 2x)

            7 - 3x = 20 + 10x

            7 - 20 = 10x +3x

                           13 = 13x

                             x = 13    x = -1

                                  -13

c) Sustituir el valor de x en la ecuación 2

            2x - 4 = -4

            2 ( -1 ) -y = -4

                  -2 -  y = -4

                        -y = -4 + 2

                        -y = -2

                         y = 2

Ejemplo #3

Por método  de Igualación

            2a + 3b = 11---ecuación 1

              a -  2b = 9 --- ecuación 2

a) Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones

            2a + 3b = 11                                                  a - 2b = 9

                  - 3b =       - 3b                                             + 2b =   +2b

            2a          = 11 - 3b                                          a          = 9 + 2b

                     2a = 11 - 3b   a= 11 - 3b                                  a = 9 + 2b

                       2          2                   2

b) Se Igualan las dos ecuaciones

            11- 3b = 9 + 2b

            (2) ( 11 - 3b ) = ( 9 + 2b )(2)

                        2

            11- 3b = 18 + 4

           -18 +3b = -18 + 3b

                 -7 = 7b                                                 -1 = b

c) Se sustituye b en la ecuación 1

            2a + 3 ( -1 ) = 11

            2a - 3 = 11

                 +3 = +3

            2a = 14

              a = 14

                      2

              a = 7

EJERCICIOS:

Resuelve por el método de igualación:

a)       n + m = 7

          n - m = 3                                                                 Sol. n = 3, m = 4

b)       w + 1 = 2 ( z - 1 )                                                     Sol. w = 7 , z = 5

          w - 1 = z + 1

c)       a + 3b = 11                                                             Sol. a = 31 , b = 8

          a -7b = -5                                                                              5          5

d)       9x - 6y = 11                                                             Sol. x = 7, y = 5

          5x + 2y = 15                                                                         3         3

e)       7c - 3d = -4                                         Sol. C= cualquiera y d= 7c +4

          -14c + 6d = 8.                                                                             31

MÉTODO DE SUMA Y RESTA

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos variables utilizando este método, seguimos los siguientes pasos:

PASO 1: Se multiplican las ecuaciones por los números que hagan que                      ambas ecuaciones tengan el coeficiente de una de las variables iguales excepto tal vez  por el signo.

            PASO 2: Se suman o se retan las ecuaciones para eliminar esa  variable.

            PASO 3:  Se resuelve la ecuación resultante para la variable que quedo.

            PASO 4: Se sustituye este valor en cualquiera de las ecuaciones                                            originales para encontrar el valor de la otra variable.

            A este método también se le conoce como el método de reducción.

Ejemplo # 1

Por el método de suma y resta

            3x + 5y = 7 ---ecuación 1

            2x  - y = -4 ----ecuación 2

a) Se multiplican  de manera cruzada las dos ecuaciones

            ( 1 ) 3x + 5y = 7

            ( 5 ) 2x - y = -4

  b)  Se elimina “ y”

             3x + 5y = 7

            10x - 5y = -20

            13x        =  -13

                        x = -13  x= -1

                                13           

c)Sustituimos el valor de x en la ecuación 2

            2x - y = -4

            2(-1)-y=-4

                    -y= -4 +2

                   - y = -2

                     y = 2

Ejemplo #2

Por método de suma y resta

            3x + 2y = 8---ecuación 1

            6x - 5y = 4 ---ecuación 2

a) Se multiplican de manera cruzada las ecuaciones

            (5) 3x + 2y = 8

            (2) 6x -5y = 4

b) Se elimina “ y “

            15x + 10y = 40

            12x -  10y = 8

            27x            = 48

                          x= 48      x = 16

                                27            9

c) Sustituir en ecuación 1

            3 ( 16 ) + 2y = 8

                   9

            48 + 2y = 8

             9

                    2y = 8 - 48

                                9

                     2y = 72 - 48

                                 9

                        2y = 24

                                 9

                        y = 24/9

                                 2

                        y = 24 = 12      y= 4

                              18      9           3

Ejemplo # 3

Por el método de suma y resta

            5x - 3y = -5 --- ecuación 1

            2x + 4y = 24 --ecuación 2

a) Se multiplica de manera cruzada las ecuaciones

            (4) 5x - 3y = -5

            (3) 2x + 4y = 24

b) Se elimina “y”

            20x -12y = -20

            6x + 12y =  72

                     26x= 52

                         x= 52 = 22

                                26

            x= 2

c) se sustituye en la ecuación 2

            2(2) + 4y = 24

            4 + 4y = 24

            -4         = -4

                   4y = 20

                     y= 20 = 5

                           4

            y = 5

EJERCICIOS

Resuelve por el método de suma y resta ( Reducción)

a)   x + 4y - z =  6

     2x + 5y -7z =-9                                                   Sol. y =2 , z = 3, x=1

     3x - 2y + z = 2

b) 2x - y = 19                                                                 Sol. x = 11, y =3

          -x = - 5 - 2y

c) 7x + 21w = 10                                                               Sol. x = 1, w= 3

   14x - 7 w = -1                                                                             7        7

d) 6x + 2y = 14                                                                 Sol. x= 0 , y = 7

    -2x + y = 7

e) 2t + u = 3                                                                      Sol. t= 1 , u = 1

       t +2u= 3

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

1. Ecuaciones con dos incógnitas.

            En este apartado vamos a tratar con ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo, 2x - 5y = 7 es una ecuación con dos incógnitas.

            El par de valores x = 6, y = 1 es solución de esta ecuación porque 2 · 6 - 5 · 1 = 7.

            Definición: Llamamos solución de una ecuación con dos incógnitas a todo par de valores que hacen cierta la igualdad. Cabe destacar que si sólo tenemos una ecuación con dos incógnitas, tendremos infinitas soluciones.

            Las ecuaciones lineales se representan mediante rectas.

            Para obtener las soluciones de dos incógnitas se despeja una de ellas y se le dan valores a la otra. Si representamos las dos ecuaciones que forman un sistema como dos rectas, se puede observar que el punto donde se cortan dichas rectas (si se cortan) es la solución al sistema.

            Ejemplo:         

 Tabla de la 1ª Ecuación

               Tabla de la 2ª Ecuación

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 Representación gráfica de ambas ecuaciones. Aquí podemos observar        cómo la solución del sistema es x=4 e y=1                              

2. Sistemas de ecuaciones.

            Definición: Dos ecuaciones forman un sistema cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común. Cuando dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, las ponemos de esta forma:

            Se llama solución de un sistema de ecuaciones a la solución común de ambas.

3. Sistemas equivalentes.

            Definición: Dos sistemas de ecuaciones se dicen equivalentes cuando tienen la misma solución.

4. Número de soluciones de un sistema lineal.

            4.1. Sistemas sin solución.

            Hay sistemas cuyas ecuaciones dicen cosas contradictorias. Por ejemplo:

             En este caso, nos dice por una parte que 2x+3y=15 y por otra que 2x+3y=9 y eso es absolutamente imposible porque para eso tendrían que adoptar las incógnitas valores distintos en cada ecuación y entonces no sería un sistema de ecuaciones.

            Así sacamos la conclusión de que el sistema no tiene soluciones comunes y entonces se dice que el sistema es incompatible.

            4.2. Sistemas con infinitas soluciones.

            Hay sistemas cuyas ecuaciones dicen lo mismo o que una ecuación es proporcional a la otra, es decir, tenemos dos veces la misma ecuación. Veamos un ejemplo:

              (1)                   (2)

            En el ejemplo (1) tenemos que las dos ecuaciones son idénticas y en el ejemplo (2) tenemos que la segunda ecuación es la misma, pero multiplicada por 2, entonces si dividimos toda la ecuación por 2, obtendremos de nuevo que tenemos dos ecuaciones idénticas.

            En este caso el sistema se llamará compatible determinado, porque tiene soluciones, pero éstas son infinitas.

5. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.

            5.1. Método de sustitución.

            Este método de resolución de un sistema de ecuaciones consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra.

            Describamos los pasos que conviene dar para aplicar este método:

            1º. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

            2º. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

            3º. Se resuelve esta ecuación.

            4º. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

            5º. Se ha obtenido, así, la solución.

            5.2. Método de igualación.

            Éste método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes.

            Describamos los pasos que conviene dar para aplicar este método:

            1º. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

            2º. Se igualan las expresiones, lo cual da lugar a una ecuación con una incógnita.

            3º. Se resuelve esta ecuación.

            4º. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejara la otra incógnita.

            5º. Se ha obtenido así la solución.

            5.3. Método de reducción.

            Este método consiste en preparar las dos ecuaciones para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas. Restando las ecuaciones resultantes, miembro a miembro, se obtiene una ecuación con sólo una incógnita (se ha reducido el número de incógnitas).

            Resumamos los pasos que debemos dar:

            1º. Se preparan las dos ecuaciones (multiplicándolas por los números que convenga).

            2º. Al restarlas desaparece una de las incógnitas.

            3º. Se resuelve la ecuación resultante.

            4º. El valor obtenido se sustituye en una de las iniciales y se resuelve.

            5º. Se obtiene, así, la solución.

            *Ejercicio resuelto por el método de reducción:

             Puesto que el coeficiente de la y en la primera ecuación es doble que en la segunda, multiplicando ésta por 2 se igualarán los coeficientes. Restando, se eliminará esta incógnita.

             Multiplicando por -2: ; ahora sumando ambas ecuaciones se obtiene lo siguiente: -7x = -21; x = = 3;

            Ahora sustituimos x=3 en cualquiera de las  expresiones inciales è 3x+4y=9 è 3·3+4y=9 è 4y=0 è y=0.

6. Reglas prácticas para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

            Si una o las dos ecuaciones del sistema tienen un aspecto externo complicado, se empieza por “arreglarlas” hasta llegar a la expresión ax+by=c.

            Recordemos las ventajas de cada uno de los tres métodos aprendidos:

            * El método de sustitución es especialmente útil cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1 ó -1 en alguna de las ecuaciones.

            * El método de reducción es muy cómodo de aplicar cuando una de las incógnitas tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones o bien sus coeficientes son uno múltiplo del otro.

            * Si queremos evitar las operaciones con fracciones, podemos conseguirlo aplicando dos veces el método de reducción para despejar, así, una y otra incógnita. Este consejo es especialmente útil cuando los coeficientes de las incógnitas son números grandes.

ACTIVIDADES RELATIVAS A LA LECCIÓN:

* Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.

            a) x+y=2; 2x+3y=5.                  b) x+y=1; 3x+2y=3                   c) 2x+y=5; x+3y=5

            d) 2x-y=3; 4x+3y=1                  e) x+y=1; 3x-4y=7                    f) 5x-y=7; 2x+3y=-4

            g) 3x-2y=3; x-3y=-6                  h) 5x-y=9; x-y=1                      i) 2x-3y=2; x-2y=0

* Resuelve los siguientes problemas.

1. La Cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta de invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es dicho número?

2. La edad de María es doble que la edad de Julia. Hace diez años la suma de las edades de las dos era igual a la edad actual de María. ¿Cuál son las edades actuales de María y Julia?

3. Por 560 pesetas se han comprado 6 kg de azúcar de la clase A y dos kg de azúcar de la clase B. Se mezcla 1 kg de azúcar de cada clase y se obtiene una mezcla que vale 75 ptas. El kg. ¿Cúanto vale el kg de azúcar de la clase A?¿Y el de la clase B?

4. Un comerciante compra un pañuelo y una bufanda por 2000 ptas y los vende por 2260 ptas. ¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del pañuelo ganó el 10 por 100 y en la venta de la bufanda ganó el 15 por 100?

5. En un colegio, entre chicos y chicas, hay 300 alumnos. Del total asisten a una excursión 155 alumnos. Se sabe que a la excursión han ido el 60 por 100 de los chicos y el 40 por 100 de las chicas. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas hay en el colegio?

6. ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?

7. En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos conejos y cuantas gallinas hay en el corral?

8. La edad de un padre es doble que la de su hijo. Hace diez años la edad del padre era triple que la del hijo. ¿Cuáles son las edades actuales del padre y del hijo?

9. La suma de dos números es 12 y su cociente es 3. Halla estos números.

10. Un padre desea repartir entre sus hijos una cantidad de 10.000 pesetas. Al hijo mayor le quiere dar 2000 pesetas más que al pequeño. ¿Cuánto corresponderá a cada hijo?.

Funciones de una variable

Si a cada elemento x de un conjunto X se  le hace corresponder, mediante una regla o fórmula, un elemento y, y sólo uno de otro conjunto Y, dicha correspondencia se denomina  función. El conjunto X se llama Dominio de la función y el conjunto Y Contradominio (codominio) o Dominio de imágenes.

Una función es pués un conjunto de pares ordenados (x, y) en donde no puede haber dos parejas distintas en que se repita el primer elemento.

 Definición de función de una variable:

Sea X un conjunto de números reales, una función  f  de una variable es una correspondencia que asocia a cada número x que pertenece a X uno y sólo un número real  y que pertenece a un conjunto Y. Cada elemento de Y queda notado y determinado por  y = f (x).

Ejemplo de funciones de una variable independiente:

La expresión de la función (1) indica que para hallar la imagen de un valor particular de x, debemos multiplicarlo por 3 y al resultado restarle 2 unidades. La fórmula de la (2) hace que a los valores de x se les eleve a la tercera potencia, al resultado se le reste 7 unidades y al total se le saque la raíz cuadrada. En la práctica, lo que debemos hacer, para hallar el valor correspondiente de la función para un valor particular de x (que pertenece, obviamente, al dominio de la función), es reemplazar en la expresión la x por el valor particular asignado y efectuar las operaciones indicadas. Calculemos, por ejemplo, la imagen para x igual a 2 en las funciones (1) y (2):

Otra notación adecuada para establecer el conjunto de pares ordenados de una función de una variable independiente es:

A x e y se les llama variables, a la x: variable independiente, a la y: variable dependiente. La razón de ello es que la x puede tomar valores arbitrarios (siempre y cuando pertenezcan al dominio de la función); mientras que la y obtiene su valor dependiendo del asignado a x y, después de pasar por las operaciones que indica la fórmula de la función.

Como se puede colegir, el dominio de una función es aquel conjunto de números que puede tomar la variable independiente. Si estamos trabajando con los números reales, por ejemplo, debemos tener encuenta dos restricciones importantes: "la división por 0 no existe" y "la raíz de índice par de números negativos no está definida en los reales". El dominio de una función se halla, por lo general, de una forma analítica. Para hallar el contradominio de una función es aconsejable deducirlo observando la gráfica de dicha función.

Ejemplo ilustrativo:

Hallar el dominio de las siguientes funciones,

 Gráfica de una función:

Es muy ilustrativo para observar el comportamiento de una función representarla gráficamente. A continuación se da la definición:

La técnica para graficar una función depende en gran medida del tipo de función. Es conveniente hacer una tabla de valores donde estén representados los valores dados a x y los correspondientes hallados para  y.

Para estudiar algunos ejemplos de funciones y observar sus respectivas gráficas, haga clic en los enlaces del marco izquierdo "Ejemplos de funciones", "Funciones algebaricas", "Funciones trigonométricas" ...

 Álgebra de funciones:

Con las funciones también podemos realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y otras más (composición de funciones).Veamos:

 Composición de funciones:

La función compuesta es la función de una función.

Ejemplo ilustrativo:

 Funciones inversas:

Si  f y g son dos funciones tales que f (g(x)) = g( f (x)) = x, entonces f y g son funciones inversas.

Ejemplo ilustrativo:

Si  f (x) = x + 3  y  g(x) = x - 3,  f y g son inversas pués,

 f (g(x)) = (x - 3) + 3 = x   y  g( f (x)) = (x + 3) - 3 = x.

 Funciones pares e impares:

Sea  f una función tal que si x está en el dominio de f, -x también lo está:

          (i)   f es una función par si f (-x) = f (x), para toda x en el domf.

          (ii)  f es una función impar si f (-x) = -f (x), para toda x en el domf.

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al ejey

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas.

Ejemplos ilustrativos:

 Funciones periódicas:

          "Se dice que una función  f con dominio D es periódica si existe un número real positivo k tal que t + k está en D  y  f (t + k) = f (t) para todo t en D. Geométricamente esto significa que la gráfica de f se repite cuando las abcisas de los puntos toman valores en intervalos sucesivos de amplitud k. Si existe un mínimo número real positivo k con esta propiedad, se dice entonces que k es el período de f ". Ejemplos de funciones periódicas son las funciones trigonométricas. Las funciones seno, coseno, cosecante y secante tienen período 2p, y la tangente y la cotangente tienen periódo p.

S o l u c i o n e s

 12.  Solución:

Ejemplo de funciones

           En este apartado vamos a estudiar algunos ejemplos de funciones particulares: función definida por partes, función signo, función valor absoluto, función mayor entero, etc. En los apartados subsiguientes se tratan las funciones elementales utilizadas en el estudio del cálculo: funciones algebraicas (polinomiales, racionales, radicales), funciones trascendentales (trigonométricas, logarítmicas, exponeciales, hiperbólicas).

S o l u c i o n e s

Funciones de una variable

Funciones algebraicas

  Funciones algebraicas:

          Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) aplicadas a la función identidad,  f (x) = x, y a la función constante,  f (x) = k.

En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinomiales, racionales y las llamadas algebraicas explícitas.

 Función polinomial:

El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales.

Ejemplos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función polinomial de grado uno), la función cuadrática (función polinomial de segundo grado), función cúbica (función polinomial de tercer grado).

 Función lineal:

           La función lineal (función polinomial de primer grado) es de la forma  y = f (x) = ax + b; a y b son números dados; el dominio y contradominio es el conjunto de todos los números reales.

La gráfica de cualquier función lineal es una línea recta. La a representa la pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen). Como por dos puntos diferentes, en el plano cartesiano, se puede trazar una sóla línea recta, basta con calcular las coordenadas de dos de los puntos para trazar la gráfica de una función lineal; es conveniente que dichos puntos sean los interceptos con los ejes del plano. Como ya mencionamos antes, el intercepto con el ejey, es b; para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen),  se iguala la ecuación de la función a 0 y se despeja el valor respectivo para x.  

           Función constante:

          Se puede considerar a la función constante como un caso particular de la función lineal cuando se hace x = 0. La función constante se define como:

El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales y el codominio es k.

La gráfica de la función constante es una línea recta paralela al ejex, y corta al ejey en y = k.

 Función identidad:

Función cuadrática:

Para trazar la gráfica de una función cuadrática es conveniente construir una tabla de valores, con por lo menos cuatro valores, uno para el vértice, dos para los interceptos con el ejex y un cuarto para el intercepto con el ejey.

 Funciones racionales:

Una función racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales. Esto es, una función racional es de la forma

El dominio de la función racional consiste de todos los numeros reales, a excepción de aquellos para los cuales Q(x) = 0.

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